Question

2．计算下列定积分：
（1）${∫}_{1}^{4}$$\frac{x-{x}^{2}}{\sqrt{x}+x}$dx；
（2）${∫}_{0}^{2}$（2-|1-x|）dx；
（3）${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$（sinx-cosx）dx．

Answer 1

分析 根据定积分的计算法则计算即可．

解答 解：（1）${∫}_{1}^{4}$$\frac{x-{x}^{2}}{\sqrt{x}+x}$dx=${∫}_{1}^{4}$（$\sqrt{x}$-x）dx=（$\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}$-$\frac{1}{2}$x²）|${\;}_{1}^{4}$=（$\frac{16}{3}$-8）-（$\frac{2}{3}$-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{17}{6}$
（2）${∫}_{0}^{2}$（2-|1-x|）dx=${∫}_{0}^{1}$（1+x）dx+${∫}_{1}^{2}$（3-x）dx=（x+$\frac{1}{2}$x²）|${\;}_{0}^{1}$+（3x-$\frac{1}{2}$x²）|${\;}_{1}^{2}$=3
（3）${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$（sinx-cosx）dx=（-cosx-sinx）|${\;}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$=-[sin$\frac{π}{2}$-sin（-$\frac{π}{2}$）]=-2

点评 本题主要考查了定积分的计算，关键是求原函数，属于基础题．