Question

11．某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图．
（Ⅰ）试估计该校高三学生视力在5.0以上的人数；（Ⅱ）为了进一步调查学生的护眼习惯，学习小组成员进行分层抽样，在视力4.2～4.4和5.0～5.2的学生中抽取9人，并且在这9人中任取3人，记视力在4.2～4.4的学生人数为X，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （I）设各组的频率为f₁=0.03，f₂=0.07，f₃=0.27，f₄=0.26，f₅=0.23，由此求出视力在5.0以上的频率，从而能估计该校高三学生视力在5.0以上的人数．
（II）依题意9人中视力在4.2～4.4和5.0～5.2的学生分别有3人和6人，X可取0、1、2、3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．

解答 （本小题满分12分）
解：（I）设各组的频率为f_i（i=1，2，3，4，5，6），
f₁=0.03，f₂=0.07，f₃=0.27，f₄=0.26，f₅=0.23，
∴视力在5.0以上的频率为1-（0.03+0.07+0.27+0.26+0.23）=0.14，
估计该校高三学生视力在5.0以上的人数约为1000×0.14=140人．   …（4分）
（II）依题意9人中视力在4.2～4.4和5.0～5.2的学生分别有3人和6人，X可取0、1、2、3，
$P（X=0）=\frac{C_6^3}{C_9^3}=\frac{20}{84}$，
$P（X=1）=\frac{C_6^2C_3^1}{C_9^3}=\frac{45}{84}$，
$P（X=2）=\frac{C_6^1C_3^2}{C_9^3}=\frac{18}{84}$，
$P（X=3）=\frac{C_3^3}{C_9^3}=\frac{1}{84}$．…（10分）
X的分布列为

X	0	1	2	3
P	$\frac{20}{84}$	$\frac{45}{84}$	$\frac{18}{84}$	$\frac{1}{84}$

X的数学期望$E（X）=0×\frac{20}{84}+1×\frac{45}{84}+2×\frac{18}{84}+3×\frac{1}{84}=1$．…（12分）

点评 本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．