Question

【题目】已知点在椭圆上，、分别为的左、右顶点，直线与的斜率之积为，为椭圆的右焦点，直线.

（1）求椭圆的方程；

（2）直线过点且与椭圆交于、两点，直线、分别与直线交于、两点.试问：以为直径的圆是否过定点？如果是，求出定点坐标，否则，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）过定点和，理由见解析.

【解析】

（1）利用直线与的斜率之积为，得出，再由点在椭圆上，可求出的值，即可得出椭圆的标准方程；

（2）由对称性知，以为直径的圆过轴上的定点，设直线的方程为，点、，设点、，求出、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出的值，由，结合韦达定理求出的值，即可得出定点的坐标.

（1）点在椭圆上，则，①，

易知点、，

直线的斜率为，直线的斜率为，

由题意可得，解得，代入①式得，

因此，椭圆的方程为；

（2）易知，直线不能与轴重合.

由对称性知，以为直径的圆过轴上的定点，

设直线的方程为，点、，设点、，

如下图所示：

易知点，，即，，

得，同理可得.

将直线的方程与椭圆的方程联立，

消去得，，.

由韦达定理得，，

，

，，

，解得或.

因此，以为直径的圆过定点和.