Question

对于函数f（x）=cos（

π

2

+x）sin（

3π

2

+x），给出下列四个结论：
①函数f（x）的最小正周期为2π
②函数f（x）在[

π

6

，

π

2

]上的值域是[

3

4

，

1

2

]
③函数f（x）在[

π

4

，

3π

4

]上是减函数
④函数f（x）的图象关于点（-

π

2

，0）对称；
其中正确结论的个数是（　　）

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：依题意，利用三角函数中的恒等变换应用可得f（x）=

1

2

sin2x，利用正弦函数的性质可对①②③④逐个判断，得到答案．

解答： 解：f（x）=cos（

π

2

+x）sin（

3π

2

+x=-sinx•（-cosx）=

1

2

sin2x，
∴T=

2π

2

=π≠2π，可排除①；
若x∈[

π

6

，

π

2

]，则2x∈[

π

3

，π]，sin2x∈[0，1]，故函数f（x）在[

π

6

，

π

2

]上的值域是[0，1]，可排除②；

当x∈[

π

4

，

3π

4

]，2x∈[

π

2

，

3π

2

]，y=siz在[

π

2

，

3π

2

]上单调递减，故函数f（x）在[

π

4

，

3π

4

]上是减函数，③正确；
当x=-

π

2

时，f（x）=）=

1

2

sin（-π）=0，故函数f（x）的图象关于点（-

π

2

，0）对称，即④正确；
综上所述，正确结论的个数是2个，
故选：B．

点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查正弦函数的周期性、单调性、对称性，定义域与值域，考查分析、运算能力，属于中档题．