Question

给出下列命题：
（1）若数列{a_n}的前n项和S_n=n²+n+1，则{a_n}是等差数列；
（2）若数列{a_n}满足a_n+1=qa_n（q≠0）q为常数，则数列{a_n}是等比数列；
（3）若数列{a_n}的前n项和S_n=rqⁿ-r（r，q为是非零常数，q≠1），则数列{a_n}是等比数列；
（4）{a_n}是等差数列，且公差d＞0，则{a_n}是递增数列．
其中正确的命题有（　　）个．

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考点：等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）求得数列的通项公式，知道此数列不是等差数列．
（2）特殊值法，令a_n=0证明结论不正确．
（3）利用a_n=S_n-S_n-1求得a_n，最后看n=1时符合，得出数列的通项公式进而可知其为等比数列．
（4）利用a_n+1＞a_n推断出数列为递增数列．

解答： 解：（1）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n-2，
当n=1时a₁=S₁=3，
故a_n=

3，n=1 2n-2，n≥2

，故{a_n}不是等差数列．
（2）若a_n=0时，等式成立，数列{a_n}不是等比数列
（3）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（r-

r

q

）•qⁿ，n=1时，等式也成立，
∴a_n=（r-

r

q

）•qⁿ，故数列时以rq-r为首项，q为公比的等比数列．
（4））{a_n}是等差数列，且公差d，
∴a_n+1-a_n=d＞0，
∴a_n+1＞a_n，即数列为递增数列．
综合知正确的结论是（3），（4），两个，
故选：C．

点评：本题主要考查了等差数列和等比数列的定义和性质．在利用a_n=S_n-S_n-1求得通项公式的时候一定要对n=1进行验证．