Question

4．已知A，B，C，D，E是空间中不同的五点，其中任意四点共面，求证：这五点共面．

Answer 1

分析 由已知A，B，C，D共面于α，A，B，C，E共面于β．当A，B，C三点不共线时，α，β重合；当A，B，C三点共线，设所在直线为l，则直线l在这个平面内，从而A，B，C，D，E共面．由此能证明这五点共面．

解答 证明：∵A，B，C，D，E是空间中不同的五点，其中任意四点共面，
∴A，B，C，D共面于α，A，B，C，E共面于β，
①若A，B，C三点不共线，则平面α，β有三个不共线的公共点A，B，C，
∴α，β重合，从而五点共面．
②若A，B，C三点共线，设所在直线为l，
依据题意A，B，D，E四点共面，
则直线l在这个平面内，从而C点也在该平面内，
故A，B，C，D，E共面．
综上所述，这五点共面．

点评 本题考查五点共面的证明，是基础题，解题时要认真审题，注意平面基本定理及推论的合理运用．