Question

已知函数f（x）=x³-

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2

x²+bx+c，且f（x）在x=1处取得极值．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）若当x∈[-1，2]时，f（x）＜c²恒成立，求c的取值范围；
（Ⅲ）对任意的x₁，x₂∈[-1，2]，|f（x₁）-f（x₂）|≤

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2

是否恒成立？如果成立，给出证明，如果不成立，请说明理由．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由题意得f（x）在x=1处取得极值所以f′（1）=3-1+b=0所以b=-2．
（Ⅱ）利用导数求函数的最大值即g（x）的最大值，则有c²＞2+c，解得：c＞2或c＜-1．
（Ⅲ）对任意的x₁，x₂∈[-1，2]，|f（x₁）-f（x₂）|≤

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2

恒成立，等价于|f（x₁）-f（x₂）|≤f（x）_max-f（x）_min=

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．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=x³-

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x²+bx+c，
∴f′（x）=3x²-x+b．
∵f（x）在x=1处取得极值，
∴f′（1）=3-1+b=0．
∴b=-2．
经检验，符合题意．
（Ⅱ）f（x）=x³-

1

2

x²-2x+c．
∵f′（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1），
当x∈（-1，-

2

3

）时，f′（x）＞0
当x∈（-

2

3

，1）时，f′（x）＜0
当x∈（1，2）时，f′（x）＞0
∴当x=-

2

3

时，f（x）有极大值

22

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+c．
又f（2）=2+c＞

22

27

+c，f（-1）=

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2

+c＜

22

27

+c
∴x∈[-1，2]时，f（x）最大值为f（2）=2+c．
∴c²＞2+c．∴c＜-1或c＞2．
（Ⅲ）对任意的x₁，x₂∈[-1，2]，|f（x₁）-f（x₂）|≤

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2

恒成立．
由（Ⅱ）可知，当x=1时，f（x）有极小值-

3

2

+c．
又f（-1）=

1

2

+c＞-

3

2

+c
∴x∈[-1，2]时，f（x）最小值为-

3

2

+c．
∴|f（x₁）-f（x₂）|≤f（x）_max-f（x）_min=

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2

，故结论成立．

点评：本题考查的知识点是利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究函数的单调性，其中根据函数的解析式，求出导函数的解析式是解答本题的关键．