Question

19．已知二次函数f（x）=ax²+bx+c，其中a＞0．
（1）若方程f（x）+2x=0有两个实根x₁=1，x₂=3，且方程f（x）+6a=0有两个相等的根，求f（x）的解析式； 
（2）若f（x）的图象与x轴交于A（-3，0）B（m，0）两点，且当-1≤x≤0时，f（x）≤0恒成立．求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设f（x）+2x=a（x-1）（x-3），求出函数的解析式，由方程f（x）+6a=0，方程有两个相等的根，求出a，然后求解f（x）的解析式．
（2）利用x₁=-3，x₂=m是方程f（x）=0的两个根．转化当-1≤x≤0时，f（x）≤0恒成立．推出不等式组求解即可．

解答 解：（1）据题意，设f（x）+2x=a（x-1）（x-3），
f（x）=a（x-1）（x-3）-2x=ax²-（2+4a）x+3a，①
由方程f（x）+6a=0可得ax²-（2+4a）x+9a=0  ②
因为方程②有两个相等的根，所以△=[-（2+4a）]²-4a•9a=0，
即5a²-4a-1=0，解得a=1或a=-$\frac{1}{5}$（舍去）
将a=1代入①得f（x）的解析式f（x）=x²-6x+3…（6分）
（2）据题意知，x₁=-3，x₂=m是方程f（x）=0的两个根．
则f（x）=a（x+3）（x-m），
又a＞0，
要使得当-1≤x≤0时，f（x）≤0恒成立．
当且仅当$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）≤0}\\{f（0）≤0}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{2m≥-2}\\{-3m≤0}\end{array}\right.$，
∴m≥0． …（12分）

点评 本题考查二次函数的简单性质以及函数恒成立的应用，考查转化思想以及计算能力．