Question

已知向量

a

={1，2，3}，

b

={3，0，-1}，

c

={-

1

5

，1，-

3

5

}，有下列结论：
①|

a

+

b

+

c

|=|

a

-

b

-

c

|；
②（

a

+

b

+

c

）²=

a

²+

b

²+

c

²；
③（

a

•

b

）

c

=

a

（

b

•

c

）；
④（

a

+

b

）•

c

=

a

•（

b

-

c

）．
其中正确的结论的个数有（　　）

• A、4个
• B、3个
• C、2个
• D、1个

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：平面向量及应用

分析：利用空间向量的数量积及坐标运算对①②③④四个选项逐一判断即可．

解答： 解：∵

a

={1，2，3}，

b

={3，0，-1}，

c

={-

1

5

，1，-

3

5

}，
∵

a

+

b

+

c

={

19

5

，3，

7

5

}，

a

-

b

-

c

={

-9

5

，1，

7

5

}，
∴①|

a

+

b

+

c

|=

( 19 5 )2+32+( 7 5 )2

≠

( -9 5 )2+12+( 7 5 )2

=|

a

-

b

-

c

|，故①错误；
②∵

a

•

b

=1×3+2×0+3×（-1）=0，

b

•

c

=3×（-

1

5

）+0×1+（-1）×（-

3

5

）=0，

a

•

c

=-

1

5

+2×1+3×（-

3

5

）=0，
∴（

a

+

b

+

c

）²=

a

²+

b

²+

c

²+2

a

•

b

+2

b

•

c

+2

a

•

c

=

a

²+

b

²+

c

²，故②正确；
③∵

a

={1，2，3}与

c

={-

1

5

，1，-

3

5

}不共线，
∴（

a

•

b

）

c

≠

a

（

b

•

c

），故③错误；
④∵（

a

+

b

）•

c

=

b

•

c

+

a

•

c

=0+0=0，

a

•（

b

-

c

）=

a

•

b

-

a

•

c

=0-0=0，
∴（

a

+

b

）•

c

=

a

•（

b

-

c

），即④正确．
综上所述，正确的结论的个数有2个，
故选：C．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查向量的数量积及其坐标运算，考查运算求解能力，属于中档题．