Question

先阅读下面的文字，再按要求解答．
如图，在一个田字形地块的A、B、C、D四个区域中栽种观赏植物，要求同一区域种同一种植物，相邻两区域（A与D，B与C不相邻）种不同的植物，现有四种不同的植物可供选择，问不同的种植方案有多少种？
某学生给出如下的解答：
解：完成四个区域种植植物这件事，可分4步：
第一步：在区域A种植物，有C

1 4

种方法；
第二步：在区域B种植与区域A不同的植物，有C

1 3

种方法；
第三步：在区域D种植与区域B不同的植物，有C

1 3

种方法；
第四步：在区域C种植与区域A、D均不同的植物，有C

1 2

种方法．
根据分步计数原理，共有C

1 4

C

1 3

C

1 3

C

1 2

=72（种）．
答：共有72种不同的种植方案．
问题：
（1）请你判断上述的解答是否正确，并说明理由；
（2）请写出你解答本题的过程．

Answer 1

考点：计数原理的应用

专题：排列组合

分析：（1）上述解答不正确，A、D两区域中可以种植不同植物，也可以种植相同的植物．
（2）在A、B、C、D四个区域完成种植植物这件事，可分为A、D两区域种植同一种植物和A、D两区域种植不同种植物两类，根据分类加法计数原理可得．

解答： 解：（1）上述解答不正确．
理由如下：上述解答中的第四步认为A、D区域种植的植物一定是不同的，事实上，已知条件中规定A、D两区域不相邻，所以A、D两区域中可以种植不同植物，也可以种植相同的植物，故解答不正确．
正确解答：以种植需要进行合理的分类．
（2）在A、B、C、D四个区域完成种植植物这件事，可分为A、D两区域种植同一种植物和A、D两区域种植不同种植物两类．
①A、D两区域种植同一种植物的方法有

C

1 4

•

C

1 3

•

C

1 3

=36（种）
②A、D两区域种植不同种植物的方法有

C

1 4

•

C

1 3

•

C

1 2

•

C

1 2

=48（种）
根据分类加法计数原理可知，符合题意的种植方法共有36+48=84（种）
答：共有84种不同的种植方案．

点评：对于复杂一点的计数问题，有时分类以后，每类方法并不都是一步完成的，必须在分类后又分步，综合利用两个原理解决，即类中有步，步中有类．