Question

已知点P是圆O：x²+y²=4上一点，直线l与圆O交于A、B两点，PO∥l，则△PAB面积的最大值为

 

．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：由题意可得S_△PAB=S_△OAB，设O到直线L的距离为h，由弦长公式求得AB=2

4-h2

，可得S_△ABC=

AB

2

•h=

h2(4-h2)

，利用基本不等式求得它的最大值．

解答： 解：∵PO∥l，∴S_△PAB=S_△OAB，设O到直线L的距离为h，即高为h，
则(

AB

2

)2=r²-h²=4-h²，AB=2

4-h2

，
∴S_△ABC=

AB

2

•h=h•

4-h2

=

h2(4-h2)

≤

h2+(4-h2)

2

=2
当且仅当h²=4-h²，即h=

2

时，取等号，∴△PAB面积的最大值为2，
故答案为：2．

点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，基本不等式的应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．