Question

已知函数f（x）=e^2x，g（x）=lnx+

1

2

，对?a∈R，?b∈（0，+∞），使得f（a）=g（b），则b-a的最小值为（　　）

• A、1+

  1

  2

  ln2
• B、1-

  1

  2

  ln2
• C、2

  e

  -1
• D、e²-

  1

  2

Answer 1

考点：函数的图象

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：由f（x）=e^2x，g（x）=lnx+

1

2

，得：f^-1（x）=

lnx

2

，g^-1（x）=ex-

1

2

，则b-a的最小值，即为h（x）的最小值，利用导数法求出函数的最小值，可得答案．

解答： 解：∵f（x）=e^2x，g（x）=lnx+

1

2

，
∴f^-1（x）=

lnx

2

，g^-1（x）=ex-

1

2

，
令h（x）=g^-1（x）-f^-1（x）=ex-

1

2

-

lnx

2

，
则b-a的最小值，即为h（x）的最小值，
∵h′（x）=ex-

1

2

-

1

2x

，
令h′（x）=0，解得x=

1

2

，
∵当x∈（0，

1

2

）时，h′（x）＜0，当x∈（

1

2

，+∞）时，h′（x）＞0，
故当x=

1

2

时，h（x）取最小值1-

ln 1 2

2

=1+

ln2

2

，
故选：A．

点评：本题考查的知识点是反函数，利用导数法求函数的最值，其中将求b-a的最小值，转化为h（x）的最小值，是解答的关键．