Question

1．已知向量$\overrightarrow a=（-1，x）$，$\overrightarrow b=（2，y）$且$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$，则|$\overrightarrow a+\overrightarrow b|$的最小值为4．

Answer 1

分析 由向量垂直的条件得到xy=2．从而|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{（-1+2）^{2}+（x+y）^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+13}$≥$\sqrt{2xy+12}$，由此能求出|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|的最小值．

解答 解：∵向量$\overrightarrow a=（-1，x）$，$\overrightarrow b=（2，y）$且$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=-2+xy=0，即xy=2．
∴|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{（-1+2）^{2}+（x+y）^{2}}$
=$\sqrt{9+{x}^{2}+{y}^{2}+4}$
=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+13}$
≥$\sqrt{2xy+12}$
=$\sqrt{16}$
=4．
∴|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|的最小值为4．
故答案为：4．

点评 本题考查向量的模的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量垂直的性质的合理运用．