Question

设{a_n}是等差数列，{b_n}是各项都为正数的等比数列，且满足：a₁=b₁=1，同时有a₃+b₂=5，a₂+b₃=6
（1）求{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）求数列{

an

bn

}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的通项公式,等比数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）设等差数列{a_n}的公差是d，正数的等比数列{b_n}的公比是q＞0，依题意，列出关于二者的方程组，解之即可求得{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）由（1）得

an

bn

=

n

2n-1

，S_n=

a1

b1

+

a2

b2

+…+

an

bn

=1+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

，利用错位相减法求和即可求得S_n．

解答： 解：（1）设等差数列{a_n}的公差是d，正数的等比数列{b_n}的公比是q＞0，则

1+2d+q=5 1+d+q2=6

，
解得d=1，q=2；
所以，a_n=a₁+（n-1）d=1+n-1=n，b_n=b₁•2^n-1=2^n-1；
 （2）由（1）得

an

bn

=

n

2n-1

，
所以，S_n=

a1

b1

+

a2

b2

+…+

an

bn

=1+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

，①

1

2

S_n=

1

2

+

2

22

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

，②
①-②得：

1

2

S_n=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

-

n

2n

=2-

n+2

2n

，
所以S_n=4-

n+2

2n-1

．

点评：本题考查数列求和，着重考查等差数列与等比数列的通项公式的应用，突出错位相减法求和的考查，属于中档题．