Question

已知数列{a_n}、{b_n}满足a₁=2t（t为常数且t≠0），且a_n=2t-

t2

an-1

，b_n=

1

an-t

请判断数列{b_n}是否为等差数列，并证明你的结论．

Answer 1

考点：等差关系的确定,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：先求出

1

an-t

=

1

t

+

1

an-1-t

，再利用等差数列的定义证明即可

解答： 解：{b_n}是等差数列，理由如下
∵数列{a_n}满足a₁=2t（t为常数且t≠0），且a_n=2t-

t2

an-1

，
∴a_n-t=t-

t2

an-1

=t（1-

t

an-1

）=t×

an-1-t

an-1

，
∴

1

an-t

=

1

t

+

1

an-1-t

，
∵b_n=

1

an-t

，b₁=

1

t

∴b_n-b_n-1=

1

t

，
∴数列{b_n}是以

1

t

为首项，以

1

t

为公差的等差数列

点评：本题考查等差数列的判断与证明，解题时要注意构造法的合理运用，属于中档题