Question

设函数f（x）=

ex，x≤0 lnx，x＞0

，若对任意给定的a∈[1，+∞），都存在唯一的x∈R，满足 f（f（x））=ma+2m²a²，则正实数m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：函数的性质及应用

分析：作出函数f（x）的图象，结合f（x）的值域范围或者图象，易知只有在f（x）的自变量与因变量存在一一对应的关系时，即只有当f（x）＞1时，才会存在一一对应．然后利用一元二次不等式的性质即可得到结论．

解答： 解：根据f（x）的函数，我们易得出其值域为：R，
又∵f（x）=e^x，（x≤0）时，值域为（0，1]；
f（x）=lnx，（x＞0）时，其值域为R，
∴可以看出f（x）的值域为（0，1]上有两个解，
要想f（f（x））=ma+2m²a²，在a∈[1，+∞）上只有唯一的x∈R满足，
必有f（f（x））＞1 （因为ma+2m²a²＞0），
所以：f（x）＞e，即lnx＞e，
解得：x＞e^e，
当 x＞e^e时，x与f（f（x））存在一一对应的关系，
∴ma+2m²a²＞1，a∈[1，+∞），且m＞0，
把m当作主变量，
则不等式等价为2m²a²+ma-1＞0，
即（ma+1）（2ma-1）＞0，
∵ma+1＞0，
∴不等式等价为2ma-1＞0，
即m＞

1

2a

，
∵a≥1，
∴

1

2a

≤

1

2

，
则m＞

1

2

，
故正实数m的取值范围是（

1

2

，+∞）．

点评：本题主要考查了分段函数的应用，综合性较强，利用数形结合是解决本题的关键，难度较大．