Question

【题目】已知抛物线C1：y2=8x与双曲线C2： （a＞0，b＞0）有公共焦点F2 ， 点A是曲线C1 ， C2在第一象限的交点，且|AF2|=5．
（1）求双曲线C2的方程；
（2）以双曲线C2的另一焦点F1为圆心的圆M与直线y= 相切，圆N：（x﹣2）2+y2=1．过点P（1， ）作互相垂直且分别与圆M、圆N相交的直线l1和l2 ， 设l1被圆M截得的弦长为s，l2被圆N截得的弦长为t，问： 是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵抛物线 的焦点为F2（2，0），

∴双曲线C2的焦点为F1（﹣2，0）、F2（2，0），

设A（x0，y0）在抛物线 上，且|AF2|=5，

由抛物线的定义得，x0+2=5，

∴x0=3，∴ ，∴ ，

∴|AF1|= =7，

又∵点A在双曲线C2上，由双曲线定义得：

2a=|7﹣5|=2，∴a=1，∴双曲线C2的方程为：

（2）解： 为定值．下面给出说明．

设圆M的方程为：（x+1）2+y2=r2，

∵圆M与直线y= x相切，

∴圆M的半径为r= ，

∴圆M：（x+2）2+y2=3．

当直线j1的斜率不存在时不符合题意，

设l1的方程为y﹣ =k（x﹣1），即kx﹣y+ ﹣k=0，

设l2的方程为y﹣ =﹣ （x﹣1），即x+ky﹣ k﹣1=0，

∴点F1到直线l1的距离为 ，

点F2到直线l2的距离为 ，

∴直线l1被圆M截得的弦长：

S=2 =2 ，

直线l2被圆N截得的弦长t=2 =2 ，

∴ =

= = ，

∴ 为定值 ．

【解析】（1）由已知条件推导出双曲线C2的焦点为F1（﹣2，0）、F2（2，0），且|AF2|=5，|AF1|=7，点A在双曲线C2上，由此能求出双曲线C2的方程．（2） 为定值．由已知条件求出设圆M的方程为M：（x+2）2+y2=3，设l1的方程为kx﹣y+ ﹣k=0，设l2的方程为x+ky﹣ k﹣1=0，由此利用点到直线的距离公式和弦长公式能求出证明 为定值 ．