Question

我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”．如图，“盾圆C”是由椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）与抛物线y²=4x中两段曲线弧合成，F₁、F₂为椭圆的左、右焦点，F₂（1，0）．A为椭圆与抛物线的一个公共点，|AF₂|=

5

2

．
（1）求椭圆的方程；
（2）求定积分时，可以使用下面的换元法公式：函数y=f（x）中，令x=φ（t），则

∫

b a

f（x）dx=

∫

t2 t1

f[φ（t）]dφ（t）=

∫

t2 t1

f[φ（t）]φ′（t）dt
（其中a=φ（t₁）、b=φ（t₂））．如

∫

1 0

1-x2

dx=

∫

π 2 0

1-sin2t

d（sint）=

∫

π 2 0

cost（sint）′dt=

∫

π 2 0

cos²tdt=

∫

π 2 0

1+cos2t

2

dt．阅读上述文字，求“盾圆C”的面积．
（3）过F₂作一条与x轴不垂直的直线，与“盾圆C”依次交于M、N、G、H四点，P和P′分别为NG、MH的中点，问

|MH|

|NG|

•

|PF2|

|P′F2|

是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由|AF₂|=

5

2

，可得x_A+1=

5

2

，解得x_A，得y_A．点A的坐标，代入椭圆方程可得：

9

4a2

+

6

b2

=1，又
a²=b²+1．解得即可．
（2）由

x2

9

+

y2

8

=1可知：y=±

8- 8 9 x2

，令x=3sint(-

π

2

≤t≤

π

6

)，可得S₁=

∫

3 2 -3

8- 8 9 x2

dx=

∫

π 6 - π 2

8-8sin2t

d(3sint)=6

2

∫

π 6 - π 2

cos2tdt=2

2

+

3 6

4

．S₂=

∫

3 2 0

4x

dx=(

4x

3

)

|

3 2 0

=

6

．根据对称性，“盾圆C”的面积为2（S₁-S₂）即可得出．
（3）设过F₂的直线为x=my+1（m≠0），M（x_M，y_M），N（x_N，y_M），G（x_G，y_G），H（x_H，y_H），
联立

x=my+1 x2 9 + y2 8 =1

，化为（8m²+9）y²+16my-64=0，可得根与系数的关系．联立

x=my+1 y2=4x

，化为y²-4my-4=0，可得根与系数的关系．由M、N、G、H、P、P′共线，

|MH|

|NG|

•

|PF2|

|P′F2|

=

|yM-yH|

|yN-yG|

•

| yN+yG 2 |

| yM+yH 2 |

，代入即可得出．

解答： 解：（1）∵|AF₂|=

5

2

，∴x_A+1=

5

2

，解得x_A=

3

2

，
∴

y

2 A

=4×

3

2

，解得y_A=

6

．∴A(

3

2

，

6

)．
代入椭圆方程可得：

9

4a2

+

6

b2

=1，
又a²=b²+1．解得b²=8，a²=9．
∴椭圆的方程为：

x2

9

+

y2

8

=1．
（2）由

x2

9

+

y2

8

=1可知：y=±

8- 8 9 x2

，
令x=3sint(-

π

2

≤t≤

π

6

)，
S₁=

∫

3 2 -3

8- 8 9 x2

dx=

∫

π 6 - π 2

8-8sin2t

d(3sint)
=6

2

∫

π 6 - π 2

cos2tdt=3

2

∫

π 6 - π 2

（1+cos2t）dt=(t+

1

2

sin2t)

|

π 6 - π 2

=2

2

+

3 6

4

．
S₂=

∫

3 2 0

4x

dx=(

4x

3

)

|

3 2 0

=

6

．
根据对称性，“盾圆C”的面积为2（S₁-S₂）=4

2

π-

6

2

．
（3）设过F₂的直线为x=my+1（m≠0），M（x_M，y_M），N（x_N，y_M），G（x_G，y_G），H（x_H，y_H），
联立

x=my+1 x2 9 + y2 8 =1

，化为（8m²+9）y²+16my-64=0，
则y_M+y_H=

-16m

8m2+9

，y_M•y_H=

-64

8m2+9

．
联立

x=my+1 y2=4x

，化为y²-4my-4=0．
∴y_N+y_G=4m，y_N•y_G=-4．
由M、N、G、H、P、P′共线，
∴

|MH|

|NG|

•

|PF2|

|P′F2|

=

|yM-yH|

|yN-yG|

•

| yN+yG 2 |

| yM+yH 2 |

=

(16m)2+4×64(8m2+9) 8m2+9

16m2+16

×

|4m|

| 16m 8m2+9 |

=3．
∴

|MH|

|NG|

•

|PF2|

|P′F2|

为定值3．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线方程与椭圆抛物线相交转化为方程联立可得根与系数的关系、“盾圆”的性质、三角函数代换计算定积分，查了推理能力和计算能力，属于难题．