Question

【题目】已知点，，点为曲线上任意一点且满足.

（1）求曲线的方程；

（2）设曲线与轴交于、两点，点是曲线上异于、的任意一点，直线、分别交直线于点、.求证：以为直线的圆与轴交于定点，并求出点的坐标.

Answer 1

【答案】（1）（2）证明过程详见解析，S点坐标为

【解析】

（1）由题意，先设，根据，列出的关系式，化简整理，即可求出结果；

（2）先由圆的方程求出，，设点，表示出直线与的方程，分别求出、坐标，再由题意得出，进而可求出结果.

解：（1）设，由，

得，

整理得.

所以曲线的方程为.

（2）由题意得，，.

设点，由点在曲线上，

所以.

直线的方程为，

所以直线与直线的交点为.

直线的方程为，

所以直线与直线的交点为.

设点， 则.

由题意得，

即，

整理得.

因为，所以，

解得.

所以点的坐标为.