Question

(1)设x≥1，y≥1，证明：x＋y＋≤＋＋xy；

(2)设1<a≤b≤c，证明：log_ab＋log_bc＋log_ca≤log_ba＋log_cb＋log_ac.

Answer 1

证明　　(1)由于x≥1，y≥1，所以x＋y＋≤＋＋xy⇔xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)².

所以[y＋x＋(xy)²]－[xy(x＋y)＋1]

＝[(xy)²－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]

＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)

＝(xy－1)(xy－x－y＋1)

＝(xy－1)(x－1)(y－1)．

既然x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，从而所要证明的不等式成立．

(2)设log_ab＝x，log_bc＝y，由对数的换底公式，得

log_ca＝，log_ba＝，log_cb＝，log_ac＝xy.

于是，所要证明的不等式即为x＋y＋≤＋＋xy，其中x＝log_ab≥1，y＝log_bc≥1.

故由(1)可知所要证明的不等式成立．