Question

已知曲线f（x）=3mx+sinx上存在相互垂直的两条切线，则实数m的值为

 

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Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：先求导函数，函数f（x）的图象上存在互相垂直的切线，不妨设在x=k与x=n处的切线互相垂直则（3m+cosk）（3m+cosn）=-1，然后整理，根据m的值必然存在，△≥0可求出m的值．

解答： 解：∵f（x）=3mx+sinx，
∴f′（x）=3m+cosx，
函数f（x）=3mx+sinx的图象上存在互相垂直的切线，
不妨设在x=k与x=n处的切线互相垂直，
则（3m+cosk）（3m+cosn）=-1
∴9m²+3（cosk+cosn）m+（coskcosn+1）=0   （*）
因为m的值必然存在，即方程（*）必然有解，所以
判别式△=9（cosk+cosn）²-36（coskcosn+1）≥0
所以  cos²k+cos²n-2coskcosn=（cosk-cosn）²≥4
解得cosk-cosn≥2  或   cosk-cosn≤-2
由于|cosx|≤1，所以有cosk=1，cosn=-1  或 cosk=-1，cosn=1，且△=0
所以（*）变为：m²=0所以m=0
故答案为：0

点评：本题主要考查了导数的几何意义，以及判别式判定方程的根，同时考查了函数与方程的思想和计算能力，属于中档题．