Question

△ABC中A，B，C的对边分别是a，b，c，若

sinA

sinB

=

a

c

，（b+c+a）（b+c-a）=3bc，则△ABC的形状为（　　）

• A、等边三角形
• B、等腰非等边三角形
• C、直角三角形
• D、钝角三角形

Answer 1

考点：正弦定理

专题：解三角形

分析：把（b+c+a）（b+c-a）=3bc整理课求得b²+c²-a²和bc的关系式，代入余弦定理中可求得cosA的值，进而取得A，同时利用正弦定理和

sinA

sinB

=

a

c

整理后可知b=c，最后可判断出三角形的形状．

解答： 解：∵（b+c+a）（b+c-a）=3bc，
∴（b+c）²-a²=3bc，
∴b²+c²+2bc-a²=3bc，
∴b²+c²-a²=bc，
由余弦定理得：cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，A∈（0，π），
∴A=

π

3

，
∵△ABC中，由正弦定理得：

a

sinA

=

b

sinB

，
∴

sinA

sinB

=

a

b

，又

sinA

sinB

=

a

c

，
∴

a

b

=

a

c

，
∴b=c，
综合可知三角形为等边三角形．
故选：A．

点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应．解题的关键是利用正弦定理和余弦定理完成角和边的问题的转化．