Question

3．设$a，b，c∈（{0，\frac{π}{2}}）$，且满足cosa=a，sin（cosb）=b，cos（sinc）=c，则a，b，c的大小关系为b＜a＜c．

Answer 1

分析 先利用导数证明当x∈（0，$\frac{π}{2}$）时，sinx＜x，再构造新函数证明f（x）=sin（cosx）-x为（0，$\frac{π}{2}$）上的减函数，g（x）=cos（sinx）-x为（0，$\frac{π}{2}$）上的减函数；最后将x=a分别代入两函数，判断函数值正负，从而利用函数的单调性比较自变量a、b、c的大小

解答 解：先证明当x∈（0，$\frac{π}{2}$）时，sinx＜x
设y=sinx-x，则y′=cosx-1＜0，∴y=sinx-x为（0，$\frac{π}{2}$）上的减函数，∴y＜sino-0=0，即sinx＜x
同理可证明f（x）=sin（cosx）-x为（0，$\frac{π}{2}$）上的减函数，g（x）=cos（sinx）-x为（0，$\frac{π}{2}$）上的减函数
∵sina＜a
∴cos（sina）-a=cos（sina）-cosa＞0，而cos（sinc）-c=0，
∴g（a）＞g（c），a、c∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴a＜c
同理∵x∈（0，$\frac{π}{2}$）时，sinx＜x，∴sin（cosa）＜cosa
∴sin（cosa）-a=sin（cosa）-cosa＜0，而sin（cosb）-b=0
∴f（a）＜f（b），a、b∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴a＞b
综上所述，b＜a＜c
故答案为b＜a＜c．

点评 本题考查了利用函数的单调性比较大小的方法，恰当的构造函数，正确的研究其单调性是解决本题的关键．