Question

定义在R上的奇函数f（x）满足f（1+x）=f（1-x），则函数y=f（x）在x∈[0，10]内零点个数至少有（　　）

• A、3个
• B、4个
• C、5个
• D、6个

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：由定义在R上的奇函数f（x），得到f（0）=0，再由f（1+x）=f（1-x），得到f（2+x）=-f（x），即有f（2）=0，从而
f（x）是以4为最小正周期的函数，即有f（4）=0，f（6）=0，f（8）=0，f（10）=0，即可得到答案．

解答： 解：∵定义在R上的奇函数f（x），∴f（-x）=-f（x），且f（0）=0，
∵f（x）满足f（1+x）=f（1-x），
∴f（2+x）=f（-x），
∴f（2+x）=-f（x），即有f（2）=0，
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x）．即有f（4）=0，
∴f（x）是以4为最小正周期的函数，
∴f（6）=0，f（8）=0，f（10）=0，
故函数y=f（x）在x∈[0，10]内零点个数至少有6个．
故选：D．

点评：本题考查函数的奇偶性、周期性及运用，同时考查函数的零点问题，属于中档题．