Question

已知c是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的半焦距，则

2b+c

2a

的取值范围是（　　）

• A、（

  1

  2

  ，+∞）
• B、（

  1

  2

  ，

  5

  2

  ]
• C、（

  1

  2

  ，

  2

  ]
• D、（

  1

  2

  ，1]

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：综合题,三角函数的求值,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：

2b+c

2a

=

b

a

+

1

2

1-( b a )2

，再利用三角换元，即可求出

2b+c

2a

的取值范围．

解答： 解：

2b+c

2a

=

b

a

+

1

2

1-( b a )2

，
∵a＞b＞0，
∴0＜

b

a

＜1．
设

b

a

=cosθ（θ∈（0，

π

2

），则

2b+c

2a

=cosθ+

1

2

sinθ=

5

2

sin（θ+α）
∵θ∈（0，

π

2

），∴

2b+c

2a

∈（

1

2

，

5

2

]．
故选：B．

点评：本题考查椭圆的简单性质，考查三角函数知识，正确换元是关键．