Question

已知三棱锥A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，BC⊥CD，BC=CD=4，AB=AD=2

3

，则三棱锥A-BCD的外接球的大圆面积为（　　）

• A、36π
• B、27π
• C、12π
• D、9π

Answer 1

考点：球的体积和表面积

专题：空间位置关系与距离,球

分析：利用已知三棱锥A-BCD的特点AB=AC=AD，先确定△ABD的外心O，及外接圆的半径，然后证明O也是三棱锥A-BCD的外接球的球心，即可解答．

解答： 解：∵如图取CD的中点E，连接AE，CE．
则AE⊥BD，CE⊥BD．
∵平面ABD⊥平面BCD，
平面ABD∩平面BCD=BD，
∴AE⊥平面BCD，
又∵CE?平面BCD，
∴AE⊥CE．
设△ABD的外接圆的圆心为O，半径为r．
∵AB=AD，
∴圆心O在AE所在的直线上．
∴r²=BE²+OE²=BE²+（r-AE）²．
∵在Rt△BCD中，
BD=

BC2+CD2

=

42+42

=4

2

．
∴BE=EC=2

2

．
∴在Rt△ABE中，AE=

AB2-BE2

=

(2 3 )2-(2 2 )2

=2．
∴r²=8+（r-2）²，解得r=3．
∴OE=1．
在Rt△OEC中，OC=

OE2+EC2

=

1+8

=3．
∴OA=OB=OC=OD=3．
∴点O是三棱锥A-BCD的外接球的球心，且半径为3．
∴大圆面积S=πr²=9π．
故选D．

点评：本题考查球内接多面体及其度量，考查空间想象能力，计算能力，解答的关键是确定球心位置，利用已知三棱锥的特点是解决问题关键，属于难题．