Question

20．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BCD=135°，侧面PAB⊥底面ABCD，∠BAP=90°，AB=AC=PA=2，E，F分别为BC，AD的中点，点M在线段PD上．
（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAC；
（Ⅱ）当二面角M-EF-D的大小为60°时，求$\frac{PM}{PD}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出EF⊥AC，PA⊥EF，由此能证明EF⊥平面PAC．
（Ⅱ）推导出AP、AB、AC两两垂直，以A 为原点，以AB、AC、AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出$\frac{PM}{PD}$的值．

解答 证明：（Ⅰ）在平行四边形ABCD中，∵AB=AC，∠BCD=135°，
∴AB⊥AC，E、F分别是BC、AD的中点，∴EF∥AB，
∴EF⊥AC，
∵侧面PAB⊥底面ABCD，且∠BAP=90°，∴PA⊥底面ABCD，
又∵EF?底面ABCD，∴PA⊥EF，
又∵PA∩AC=A，PA?平面PAC，PC?平面PAC，
∴EF⊥平面PAC．
解：（Ⅱ）∵侧面PAB⊥底面ABCD，且交线为AB，PA⊥AB，
∴PA⊥底面ABCD，AB⊥AC，
∴AP、AB、AC两两垂直，以A 为原点，以AB、AC、AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），D（-2，2，0），E（1，1，0），F（-1，1，0），P（0，0，2），
令$\overrightarrow{PM}$=$λ\overrightarrow{PD}$=（-2λ，2λ，-2λ），λ∈（0，1），
又$\overrightarrow{EP}$=（-1，-1，2），∴$\overrightarrow{EM}$=$\overrightarrow{EP}+\overrightarrow{PM}$=（-1-2λ，2λ，-2λ），λ∈（0，1），
设平面EFM的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
又$\overrightarrow{FE}$=（2，0，0），∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{FE}•\overrightarrow{m}=2x=0}\\{\overrightarrow{EM}•\overrightarrow{m}=（-1-2λ）x+（-1+2λ）y+（2-2λ）z=0}\end{array}\right.$，
取y=2-2λ，得$\overrightarrow{m}$=（0，2-2λ，1-2λ），
平面EFD的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），
∴|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|1-2λ|}{\sqrt{（2-2λ）^{2}+（1-2λ）^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，
解得$λ=\frac{1+\sqrt{3}}{4}$或$λ=\frac{1-\sqrt{3}}{4}$（舍），
∴$\frac{PM}{PD}$=$\frac{1+\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查两线段比值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．