Question

【题目】已知 的左、右焦点分别为 ， ，点 在椭圆上， ，且 的面积为4.
（1）求椭圆的方程；
（2）点 是椭圆上任意一点， 分别是椭圆的左、右顶点，直线 与直线 分别交于 两点，试证：以 为直径的圆交 轴于定点，并求该定点的坐标.

Answer 1

【答案】
（1）解；因为 ，所以 ， .

由题意得 ，解得 .

从而 ，结合 ，得 ，

故椭圆的方程为 .

（2）解：由（1）得 ， ，

设 ，则直线 的方程为 ，

它与直线 的交点的坐标为 ，

直线 的方程为 ，它与直线 的交点的坐标为 ，

再设以 为直径的圆交 轴于点 ，则 ，从而 ，即

，即 ，解得 .

故以 为直径的圆交 轴于定点，该定点的坐标为 或 .

【解析】(1) 由已知求出PF2F1的正弦和余弦值，再利用面积公式以及余弦定理可求得点P到两焦点的距离，求出a的值进而得到b的值故可求出椭圆的方程。(2)由(1)的方程求出两个定点的坐标，设出点M的坐标得到直线的方程，进而可求出点E、F的坐标，利用两条直线垂直斜率之积等于-1即可求出m的值。