Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量

m

=（cos

A

2

，2）与

n

=（sin

A

2

，1）互相平行，

AB

•

AC

=6．
（1）求△ABC的面积；
（2）若b+c=7，求a的值．

Answer 1

考点：余弦定理,平面向量数量积的运算,正弦定理

专题：解三角形,平面向量及应用

分析：（1由已知可解得tan

A

2

=

1

2

，cosA=

1-tan2 A 2

1+tan2 A 2

=

3

5

，sinA=

4

5

，可求出|

AB

|×|

AC

|的值，从而可求△ABC的面积；
（2）由已知和（1）可知b+c=7，bc=10可解得：b=5或2，c=2或5．由余弦定理可求a的值．

解答： 解：（1）∵由向量

m

=（cos

A

2

，2）与

n

=（sin

A

2

，1）互相平行，可得cos

A

2

-2sin

A

2

=0，
∴有tan

A

2

=

1

2

，cosA=

1-tan2 A 2

1+tan2 A 2

=

3

5

，sinA=

4

5

∵

AB

•

AC

=6，从而有|

AB

|×|

AC

|×COSA=6．
∴|

AB

|×|

AC

|×

3

5

=6．|

AB

|×|

AC

|=10
∴S_△ABC=

1

2

|

AB

|×|

AC

|×sinA=

1

2

×10×

4

5

=4．
（2）∵由已知和（1）可知b+c=7，bc=10
∴可解得：b=5或2，c=2或5．
∴由余弦定理知：a²=b²+c²-2bccosA=29-20×

3

5

=17
∴a=

17

．

点评：本题主要考察了平面向量数量积的运算，正弦定理、余弦定理的应用，属于基本知识考察．