Question

15．已知矩形ABEF所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，AD=2，AB=3，AF=$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，M为EF的中点，则多面体M-ABCD的外接球的表面积为16π．

Answer 1

分析 设球心到平面ABCD的距离为d，利用矩形ABEF所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，AF=$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，M为EF的中点，可得M到平面ABCD的距离为$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，从而R²=（$\frac{\sqrt{4+9}}{2}$）²+d²=1²+（$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$-d）²，求出R²=4，即可求出多面体E-ABCD的外接球的表面积．

解答 解：设球心到平面ABCD的距离为d，
∵矩形ABEF所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，AF=$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，M为EF的中点，
∴M到平面ABCD的距离为$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，
∴R²=（$\frac{\sqrt{4+9}}{2}$）²+d²=1²+（$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$-d）²，
∴d=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，R²=4，
∴多面体E-ABCD的外接球的表面积为4πR²=16π．
故答案为：16π．

点评 本题考查多面体E-ABCD的外接球的表面积，考查学生的计算能力，正确求出多面体E-ABCD的外接球的半径是关键．