Question

已知命题p：函数f（x）=x²+ax-2在[-1，1]内有且仅有一个零点．命题q：x²+3（a+1）x+2≤0在区间[

1

2

，

3

2

]内恒成立．若命题“p且q”是假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

在命题p中，若a=0，则不合题意，
∴

a≠0 f(-1)•f(1)=(1-a-2)(1+a-2)≤0

，
解得a≤-1，或a≥1．
在命题q中，∵x∈[

1

2

，

3

2

]，∴3（a+1）≤-（x+

2

x

）在[

1

2

，

3

2

]上恒成立．
∴（x+

1

x

）_max=

9

2

，故只需3（a+1）≤-

9

2

即可，解得a≤-

5

2

．
∵命题“p且q”是假命题，
∴p真q假，或p假q真，或p、q均为假命题，
当p真q假时，-

5

2

＜a≤-1，或a≥1，
当p假q真时，a∈∅．
当p、q均为假命题时，有-1＜a＜1，
故实数a的取值范围{a|a＞-

5

2

}．