Question

已知函数，若在上的最小值记为.
（1）求；
（2）证明：当时，恒有.

Answer 1

（1）；（2）详见解析.

试题分析：（1）因为，对实数分类讨论，①，②，分别用导数法求函数单调区间，从而确定的值，再用分段函数表示；（2）构造函数，对实数分类讨论，①，②，分别用导数法求函数单调区间，从而确定的最大值，即可证明当时恒有成立.
（1）因为，
①当时，
若，则，，故在上是减函数；
若，则，，故在上是增函数；
所以，.
②当，则，，，故在上是减函数，
所以，
综上所述，.
（2）令，
①当时，，
若，得，所以在上是增函数，所以在上的最大值是，且，所以，
故.
若，，则，所以在上是减函数，
所以在上的最大值是，
令，则，
所以在上是增函数，所以即，
故，
②当时，，所以，得，
此时在上是减函数，因此在上的最大值是，
故，
综上所述，当时恒有.