Question

18．设向量$\overrightarrow{α}$=（sinα，sinα）．$\overrightarrow{b}$=（cosα，sinα），α∈[$\frac{π}{2}$，π]且|$\overrightarrow{α}$|=|$\overrightarrow{b}$|．
（I）求α的值；
（II）将$\overrightarrow{b}$顺时针方向旋转$\frac{π}{4}$得到$\overrightarrow{{e}_{1}}$，将$\overrightarrow{α}$逆时针方向旋转$\frac{π}{12}$得到$\overrightarrow{{e}_{2}}$，非零向量$\overrightarrow{c}$=x$\overrightarrow{{e}_{1}}$+y$\overrightarrow{{e}_{2}}$，求$\frac{|x|}{|\overrightarrow{c}|}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据|$\overrightarrow{α}$|=|$\overrightarrow{b}$|列出方程解出α；
（2）求出$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$的坐标，得出|$\overrightarrow{c}$|的坐标，求出$\frac{|x|}{|\overrightarrow{c}|}$的平方，根据二次函数的性质求出$\frac{|x|}{|\overrightarrow{c}|}$的最大值．

解答 解：（I）∵|$\overrightarrow{α}$|=|$\overrightarrow{b}$|，∴2sin²α=cos²α+sin²α=1，
∴sin²α=$\frac{1}{2}$，∵α∈[$\frac{π}{2}$，π]，
∴α=$\frac{3π}{4}$．
（II）$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{π}{4}$，sin$\frac{π}{4}$），$\overrightarrow{b}$=（cos$\frac{3π}{4}$，sin$\frac{3π}{4}$）．
∴$\overrightarrow{{e}_{1}}$=（0，1），$\overrightarrow{{e}_{2}}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
∴$\overrightarrow{c}=（\frac{y}{2}，x+\frac{\sqrt{3}y}{2}）$．
∴|$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{（\frac{y}{2}）^{2}+（x+\frac{\sqrt{3}y}{2}）^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+\sqrt{3}xy}$．
∴$\frac{|x{|}^{2}}{|\overrightarrow{c}{|}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}+\sqrt{3}xy}$=$\frac{1}{1+（\frac{y}{x}）^{2}+\frac{\sqrt{3}y}{x}}$=$\frac{1}{[（\frac{y}{x}）+\frac{\sqrt{3}}{2}]^{2}+\frac{1}{4}}$．
∴当$\frac{y}{x}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$时，$\frac{|x{|}^{2}}{|\overrightarrow{c}{|}^{2}}$取得最大值4．
∴$\frac{|x|}{|\overrightarrow{c}|}$的最大值是2．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，向量的坐标运算，二次函数的最值，属于中档题．