Question

10．解下列方程或不等式：
（1）${A}_{2x+1}^{4}$=140${A}_{x}^{3}$；
（2）${A}_{8}^{x}$＜6${A}_{8}^{x-2}$．

Answer 1

分析 （1）根据排列数公式，化简${A}_{2x+1}^{4}$=140${A}_{x}^{3}$，解方程即可；
（2）根据排列数公式，化简不等式${A}_{8}^{x}$＜6${A}_{8}^{x-2}$，解不等式即可．

解答 解：（1）∵${A}_{2x+1}^{4}$=140${A}_{x}^{3}$，
∴（2x+1）•2x•（2x-1）•（2x-2）=140•x•（x-1）•（x-2），
化简得（2x+1）（2x-1）=35（x-2），
即4x²-35x+69=0，
解得x=3或x=$\frac{23}{4}$（不合题意，舍去），
∴该方程的解为x=3；
（2）∵${A}_{8}^{x}$＜6${A}_{8}^{x-2}$，
∴$\frac{8!}{（8-x）!}$＜6×$\frac{8!}{（8-x+2）!}$，
即1＜$\frac{6}{（10-x）（9-x）}$，
化简得x²-19x+84＜0，
解得7＜x＜12，
又x≤8，且x∈N^*，
∴x=8；
故原不等式的解集为{8}．

点评 本题考查了排列数公式的应用问题，也考查了解方程与不等式的应用问题，是基础题目．