Question

15．根据下列条件，求角α的指定的三角函数值：
（1）已知sin$α=-\frac{\sqrt{3}}{2}$，且α是第三象限角，求cosα和tanα；
（2）已知tanα=-3，且α是第二象限角，求sinα和cosα；
（3）已知cos$α=\frac{12}{13}$，且α是第四象限角，求sinα和tanα；
（4）已知sin$α=-\frac{1}{2}$，α∈R，求cosα和tanα．

Answer 1

分析 由条件利用同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，求得要求式子的值．

解答 解：（1）∵已知sin$α=-\frac{\sqrt{3}}{2}$，且α是第三象限角，
∴cosα=-$\sqrt{{1-sin}^{2}α}$=-$\frac{1}{2}$，tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=$\sqrt{3}$；
（2）∵已知tanα=-3，且α是第二象限角，
∴sinα＞0，cosα＜0，且$\frac{sinα}{cosα}$=-3，sin²α+cos²α=1，
求得sinα=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，cosα=$\frac{\sqrt{10}}{10}$；
（3）∵已知cos$α=\frac{12}{13}$，且α是第四象限角，
∴sinα=-$\sqrt{{1-cos}^{2}α}$=-$\frac{5}{12}$，tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=-$\frac{5}{12}$；
（4）∵已知sin$α=-\frac{1}{2}$，α∈R，∴α是第三或第四象限角．
若α是第三象限角，则cosα=-$\sqrt{{1-sin}^{2}α}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$ tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
若α是第四象限角，则cosα=$\sqrt{{1-sin}^{2}α}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$ tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．