Question

13．已知x＞0，y＞0，且x=4xy-2y，则3x+2y的最小值为2+$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 变形已知式子可得$\frac{1}{y}$+$\frac{2}{x}$=4，整体代入可得3x+2y=$\frac{1}{4}$（3x+2y）（$\frac{1}{y}$+$\frac{2}{x}$）=$\frac{1}{4}$（8+$\frac{3x}{y}$+$\frac{4y}{x}$），由基本不等式可得．

解答 解：∵x＞0，y＞0，且x=4xy-2y，
∴x+2y=4xy，故$\frac{x+2y}{xy}$=4，即$\frac{1}{y}$+$\frac{2}{x}$=4，
∴3x+2y=$\frac{1}{4}$（3x+2y）（$\frac{1}{y}$+$\frac{2}{x}$）=$\frac{1}{4}$（8+$\frac{3x}{y}$+$\frac{4y}{x}$）≥$\frac{1}{4}$（8+2$\sqrt{\frac{3x}{y}•\frac{4y}{x}}$）=2+$\sqrt{3}$
当且仅当$\frac{3x}{y}$=$\frac{4y}{x}$时取等号，结合$\frac{1}{y}$+$\frac{2}{x}$=4可解得x=$\frac{3+\sqrt{3}}{6}$且y=$\frac{\sqrt{3}+1}{4}$．
故答案为：2+$\sqrt{3}$

点评 本题考查基本不等式求最值，变形并整体代入是解决问题的关键，属基础题．