Question

5．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，S_n=S_n-1+a_n-1+2^n-2（n≥2）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=（2n-1）a_n+1，记f（n）=b₁+b₂+…+b_n，若 对任意n，（n∈N^*），不等式f（n）＜λ•a_n+1成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）分类讨论，当n≥2时，S_n=S_n-1+a_n-1+2^n-2，从而可得a_n-a_n-1=2^n-2，从而利用累加法求其和；
（2）化简b_n=（2n-1）a_n+1=（2n-1）2ⁿ，从而利用错位相减法求f（n）；从而化f（n）＜λ•a_n+1为（2n-3）2ⁿ⁺¹+6＜λ2ⁿ，从而化为恒成立问题即可．

解答 解：（1）当n≥2时，S_n=S_n-1+a_n-1+2^n-2，
即a_n=a_n-1+2^n-2，故a_n-a_n-1=2^n-2，
故a₂-a₁=2^2-2，a₃-a₂=2^3-2，
a₄-a₃=2^4-2，…，
a_n-a_n-1=2^n-2，
累加得，
a_n-a₁=1+2+4+…+2^n-2，
故a_n=1+$\frac{1（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$=2^n-1，
当n=1时，上式也成立；
故数列{a_n}的通项公式为a_n=2^n-1；
（2）b_n=（2n-1）a_n+1=（2n-1）2ⁿ，
f（n）=b₁+b₂+…+b_n=2+3•2²+5•2³+…+（2n-1）2ⁿ，
2f（n）=2²+3•2³+5•2⁴+…+（2n-1）2ⁿ⁺¹，
故f（n）=-2-2•2²-2•2³-2•2⁴-…-2•2ⁿ+（2n-1）2ⁿ⁺¹
=-2-$\frac{8（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$+（2n-1）2ⁿ⁺¹
=（2n-3）2ⁿ⁺¹+6；
故f（n）＜λ•a_n+1可化为（2n-3）2ⁿ⁺¹+6＜λ2ⁿ，
即λ＞2（2n-3）+$\frac{6}{{2}^{n}}$，
即存在n∈N^*，使λ＞2（2n-3）+$\frac{6}{{2}^{n}}$成立，
令h（n）=2（2n-3）+$\frac{6}{{2}^{n}}$=4n-6+$\frac{6}{{2}^{n}}$，
易知h（1）=-2+3=1，
当n≥2时，h（n）=4n-6+$\frac{6}{{2}^{n}}$≥4×2-6=2，
∵对任意n∈N^*，使λ＞2（2n-3）+$\frac{6}{{2}^{n}}$成立，
∴λ＞1．

点评 本题考查了数列的性质的判断与应用，同时考查了累加法与错位相减法的应用，属于中档题．