Question

19．为备战“全国高中数学联赛”，我市某高中拟成立两个“数学竞赛班”，经过学校预选，选出40名学生，编成A，B两个班，分别由两位教师担任教练进行培训；经过两个月的培训，参加了市里组织的数学竞赛初赛（只有经过初赛，取得相应名次，才能取得参加省统一组织的“全国高中数学联赛”复赛资格），这40名学生的初赛成绩的茎叶图如图：
市数学会规定：140分以上（含140分）为市级一等奖，135分以上（含135分）为市级二等奖，100分以上（含100分）为市级三等奖．
（1）由茎叶图判断A班和B班的平均分$\overline{{x}_{A}}$，$\overline{{x}_{B}}$的大小（只需写出结论）；
（2）按照规则：获得市一等奖、二等奖的同学才能获得省里组织的“全国数学联赛”复赛资格，我们称这些同学为“种子选手”，请填写下面的2×2列联表，并判断“能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为称为‘种子’选手”与班级有关？

	A班	B班	合计
种子选手
非种子选手
合计

（3）在获市级一等奖的同学中选出3人，求至少含有1名A班同学的概率．
下面临界值表仅供参考：

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（参考公式：${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d）

Answer 1

分析 （1）根据茎叶图可知A班数据的重心偏下，可得：故$\overline{{x}_{A}}$＜$\overline{{x}_{B}}$；
（2）根据茎叶图求出列联表中各个数据，计算出临界值，可得结论；
（3）分别计算获市级一等奖的同学中选出3人的总取法，及至少含有1名A班同学的取法，代入古典概型概率计算公式，可得答案．

解答 解：（1）茎叶图可知A班数据的重心偏下，
故$\overline{{x}_{A}}$＜$\overline{{x}_{B}}$
（2）由茎叶图可知，“种子选手”共有13名，其中A班3人，B班10人，非种子选手27人，其中A班17人，B班10人，
从而2×2联表如下：

	A班	B班	合计
种子选手	3	10	13
非种子选手	17	10	27
合计	20	20	40

将2×2列联表中的数据代入公式计算，得                           …（6分）
K²=$\frac{n（ad-bc）2}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$=$\frac{40×（3×10-17×10）2}{20×20×27×13}$=$\frac{13×142}{13×27}$=$\frac{1960}{351}$≈5.584
因为5.584＞5.024，所以能够“在犯错误的概率不超过0.025的前提下”认为成为‘种子选手’与班级有关…（8分）
（3）由茎叶图知：获市一等奖的学生共6人，其中A班两名同学，记作A₁，A₂，B班4名同学，记作B₁，B₂，B₃，B₄，
“从6人中抽取3人”共包含以下基本事件：
（A₁，A₂，B₁），（A₁，A₂，B₂），（A₁，A₂，B₃），（A₁，A₂，B₄），（A₁，B₁，B₂），
（A₁，B₁，B₃），（A₁，B₁，B₄），（A₁，B₂，B₃），（A₁，B₂，B₄），（A₁，B₃，B₄），
（A₂，B₁，B₂），（A₂，B₁，B₃），（A₂，B₁，B₄），（A₂，B₂，B₃），（A₂，B₂，B₄），
（A₂，B₃，B₄），（B₁，B₂，B₃），（B₁，B₂，B₄），（B₁，B₃，B₄），（B₂，B₃，B₄）共20个，
其中事件“至少含有1名A班同学”包含以下基本事件：
（A₁，A₂，B₁），（A₁，A₂，B₂），（A₁，A₂，B₃），（A₁，A₂，B₄），（A₁，B₁，B₂），
（A₁，B₁，B₃），（A₁，B₁，B₄），（A₁，B₂，B₃），（A₁，B₂，B₄），（A₁，B₃，B₄），
（A₂，B₁，B₂），（A₂，B₁，B₃），（A₂，B₁，B₄），（A₂，B₂，B₃），（A₂，B₂，B₄），（A₂，B₃，B₄）共16个
设事件A=“至少含有1名A班同学”．
∴P（A）=$\frac{16}{20}$=$\frac{4}{5}$
即在获市级一等奖的同学中选出3人，至少含有1名A班同学的概率为$\frac{4}{5}$…（12分）

点评 本题考查的知识点是独立性检验，茎叶图，古典概型，是统计和概率的综合应用，难度中档．