Question

已知a，b∈R，函数f（x）=tanx在x=-

π

4

处与直线y=ax+b+

π

2

相切，设g（x）=-bxlnx+a在定义域内（　　）

• A、有极大值

  1

  e

• B、有极小值

  1

  e

• C、有极大值2-

  1

  e

• D、有极小值2-

  1

  e

Answer 1

考点：正切函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：先求出f′（x）=

1

cos2x

，再由条件根据导数的几何意义可得 a=f′（-

π

4

）=2．再把切点（-

π

4

，2）代入切线方程求得b，可得g（x）解析式．再根据g′（x）的符号，求出g（x）的单调区间，从而求得g（x）的极值．

解答： 解：由函数f（x）=tanx，可得f′（x）=

1

cos2x

．
再根据函数f（x）=tanx在x=-

π

4

处与直线y=ax+b+

π

2

相切，可得 a=f′（-

π

4

）=2．
再把切点（-

π

4

，2）代入直线y=ax+b+

π

2

，可得b=-1，∴g（x）=xlnx+1，g′（x）=lnx+1．
令g′（x）=lnx+1=0，求得x=

1

e

，在（0，

1

e

）上，g′（x）＜0，在（

1

e

，+∞）上，g′（x）＞0，
故g（x）在其定义域（0，+∞）上存在最小值为g（

1

e

）=2-

1

e

，
故选：D．

点评：本题主要考查函数在某处的导数的几何意义，利用导数求函数的极值，属于基础题．