Question

9．设$m=\int_{-1}^{1}{（3{x^2}}+sinx）dx$，则（x-$\frac{m}{x}$）⁶的展开式中的常数项为-160．

Answer 1

分析 利用定积分求出m=2，从而${T}_{r+1}={C}_{6}^{r}{x}^{6-r}（-\frac{2}{x}）^{r}$=（-2）^r${C}_{6}^{r}$x^6-2r，令6-2r=0，得r=3，由此能求出（x-$\frac{m}{x}$）⁶的展开式中的常数项．

解答 解：∵$m=\int_{-1}^{1}{（3{x^2}}+sinx）dx$
=（x³-cosx）${|}_{-1}^{1}$=（1-cos1）-（-1-cos（-1））=2，
∴（x-$\frac{m}{x}$）⁶即$（x-\frac{2}{x}）^{6}$，
∴${T}_{r+1}={C}_{6}^{r}{x}^{6-r}（-\frac{2}{x}）^{r}$
=（-2）^r${C}_{6}^{r}$x^6-2r，
令6-2r=0，得r=3，
∴（x-$\frac{m}{x}$）⁶的展开式中的常数项为：$（-2）^{3}{C}_{6}^{3}$=-160．
故答案为：-160．

点评 本题考查定积分的求法，考查二项展开式中常数项的求法，考查二项式定理、排列组合等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．