Question

4．若b＞a＞1且3log_ab+6log_ba=11，则${a^3}+\frac{2}{b-1}$的最小值为$2\sqrt{2}+1$．

Answer 1

分析 根据对数的运算，求出a³=b，根据基本不等式的性质求出其最小值即可．

解答 解：∵3log_ab+6log_ba=11，
∴（3log_ab-2）（log_ab-3）=0，
∵b＞a＞1，
∴log_ab=3，a³=b，
∴${a^3}+\frac{2}{b-1}$
=b-1+$\frac{2}{b-1}$+1
≥2$\sqrt{（b-1）•\frac{2}{b-1}}$+1
=2$\sqrt{2}$+1，
故答案为：2$\sqrt{2}$+1．

点评 本题考查了对数的运算性质，考查基本不等式的性质，是一道中档题．