Question

19．已知二项式${（\sqrt{x}-\frac{2}{{\root{3}{x}}}）^n}$的展开式中第四项为常数项．
（1）求n的值；
（2）求展开式的各项系数绝对值之和；
（3）求展开式中系数最大的项．

Answer 1

分析 （1）根据二项展开式的通项公式，结合第四项的未知数的幂指数等于零，求得n的值．
（2）本题即求${（\sqrt{x}+\frac{2}{\root{3}{x}}）}^{n}$的各项系数和，令x=1，可得它的结果．
（3）设${（\sqrt{x}-\frac{2}{{\root{3}{x}}}）^n}$展开式的第r+1项系数绝对值为A_r+1，且A_r+1为最大值，求得r的值，检验即可．

解答 解：（1）∵${（\sqrt{x}-\frac{2}{{\root{3}{x}}}）^n}$的展开式中第四项为常数项，∴${T_4}=C_n^3{（\sqrt{x}）^{n-3}}•{（-\frac{2}{{\root{3}{x}}}）^3}=C_n^3{（-2）^3}{x^{\frac{n-5}{2}}}$，∴$\frac{n-5}{2}$=0，∴n=5．
（2）由（1）知n=5，∴${（\sqrt{x}-\frac{2}{{\root{3}{x}}}）^n}$展开式的各项系数绝对值之和即${（\sqrt{x}+\frac{2}{\root{3}{x}}）}^{n}$的各项系数和，
令x=1，可得${（\sqrt{x}+\frac{2}{\root{3}{x}}）}^{n}$的各项系数和为3⁵．
（3）设${（\sqrt{x}-\frac{2}{{\root{3}{x}}}）^n}$展开式的第r+1项系数绝对值为A_r+1，且A_r+1为最大值，
则$\left\{\begin{array}{l}{A_{r+1}}≥{A_r}\\{A_{r+1}}≥{A_{r+2}}\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}12-2r≥r\\ r+1≥10-2r\end{array}\right.⇒3≤r≤4$，∵r∈N^*，∴r=3或4，
又∵r=3时，${（\sqrt{x}-\frac{2}{{\root{3}{x}}}）^n}$是展开式中第四项，其系数是负值，∴r=4，
故${（\sqrt{x}-\frac{2}{{\root{3}{x}}}）^n}$的展开式中系数最大的项为：${T_5}=C_5^4{（\sqrt{x}）^1}•{（-\frac{2}{{\root{3}{x}}}）^4}=C_5^4{（-2）^4}{x^{-\frac{5}{6}}}$．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．