已知点,直线
,动点P到点F的距离与到直线
的距离相等.
(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)直线与曲线C交于A,B两点,若曲线C上存在点D使得四边形FABD为平行四边形,求b的值.
(1);(2)
或
。
解析试题分析:(1)显然动点的轨迹满足抛物线的定义,故用定义去求轨迹方程;(2)法一:由题意知
,故设直线FD的方程为
,与抛物线方程联立可得
点的横坐标,再由抛物线的定义求出
,把直线
的方程与抛物线方程联立,再由弦长公式求出
的长,是用
来表示的,然后令
,可得关于
的方程,从而求出
的值;法二:同法一一样先求出
点的坐标,再把直线
的方程与抛物线方程联立,利用韦达定理求出
两点的横坐标和与积, 又因为四边形FABD是平行四边形,所以
,由此可得
两点的横坐标的关系,结合韦达定理得到的结论找到一个关于
的方程,
解方程即可,需根据点的坐标进行分情况讨论。
试题解析:(1)依题意,动点P的轨迹C是以为焦点,
为准线的抛物线,
所以动点P的轨迹C的方程为
(2)解法一:因为,故直线FD的方程为
,
联立方程组消元得:
,
解得点的横坐标为
或
, 由抛物线定义知
或
又由 消元得:
。
设,
,则
且
,
所以
因为FABD为平行四边形,所以 所以
或
,
解得或
,代入
成立。
(2)解法二:因为,故直线FD的方程为
联立方程组消元得:
,解得
或
故点或
.
1)当时,设
,
联立方程组消元得
(*)
根据韦达定理有①,
②
又因为四边形是平行四边形,所以,将坐标代入有
③
代入①有,
,再代入②有
整理得此时(*)的判别式
,符合题意.
2)当时,同理可解得
。
考点:(1)抛物线的定义;(2)直线与抛物线的位置关系;(3)弦长公式的应用;(4)向量加法的平行四边形法则;(5)韦达定理的应用。
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知曲线C上任意一点P到两定点F1(-1,0)与F2(1,0)的距离之和为4.
(1)求曲线C的方程;
(2)设曲线C与x轴负半轴交点为A,过点M(-4,0)作斜率为k的直线l交曲线C于B、C两点(B在M、C之间),N为BC中点.
(ⅰ)证明:k·kON为定值;
(ⅱ)是否存在实数k,使得F1N⊥AC?如果存在,求直线l的方程,如果不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知曲线E上任意一点P到两个定点F1(-,0)和F2(
,0)的距离之和为4.
(1)求曲线E的方程;
(2)设过点(0,-2)的直线l与曲线E交于C、D两点,且·
=0(O为坐标原点),求直线l的方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知圆C:(x-4)2+(y-m)2=16(m∈N*),直线4x-3y-16=0过椭圆E:+
=1(a>b>0)的右焦点,且被圆C所截得的弦长为
,点A(3,1)在椭圆E上.
(1)求m的值及椭圆E的方程;
(2)设Q为椭圆E上的一个动点,求·
的取值范围.
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设椭圆E:+
=1(a>b>0)的上焦点是F1,过点P(3,4)和F1作直线PF1交椭圆于A,B两点,已知A(
,
).
(1)求椭圆E的方程;
(2)设点C是椭圆E上到直线PF1距离最远的点,求C点的坐标.
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已知F1,F2是椭圆C:+
=1(a>b>0)的左、右焦点,点P(-
,1)在椭圆上,线段PF2与y轴的交点M满足
+
=0.
(1)求椭圆C的方程;
(2)椭圆C上任一动点N(x0,y0)关于直线y=2x的对称点为N1(x1,y1),求3x1-4y1的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知抛物线C:的焦点为F,直线
与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且
.
(1)求C的方程;
(2)过F的直线与C相交于A,B两点,若AB的垂直平分线
与C相较于M,N两点,且A,M,B,N四点在同一圆上,求
的方程.
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