Question

12．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=$\frac{{n}^{2}{a}_{n}}{{n}^{2}+1}$（n∈N⁺）．
（1）证明：a_n+1＜a_n；
（2）证明：$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}+\frac{{a}_{2}}{{a}_{3}}+…+\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}≤n+2-\frac{1}{n}$；
（3）证明：a_n$＞\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 （1）化简a_n+1=$\frac{{n}^{2}{a}_{n}}{{n}^{2}+1}$（n∈N⁺）后即可证明a_n+1＜a_n；
（2）先验证n=1时成立，当n≥2时利用分离常数法化简后，由放缩法和裂项相消法证明不等式成立；
（3）由放缩法化简$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$后，列出不等式进行归纳、化简证明不等式成立．

解答 证明：（1）由a_n+1=$\frac{{n}^{2}{a}_{n}}{{n}^{2}+1}$（n∈N⁺）得，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{{n}^{2}}{{n}^{2}+1}$＜1，
∴a_n+1＜a_n；
（2）当n=1时，$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}=2$成立，
当n≥2时，∵$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{{n}^{2}}{{n}^{2}+1}$，则$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}=\frac{{n}^{2}+1}{{n}^{2}}$=1+$\frac{1}{{n}^{2}}$，
∴$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}+\frac{{a}_{2}}{{a}_{3}}+…+\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$=n+$\frac{1}{{1}^{2}}+\frac{1}{{2}^{2}}+…+\frac{1}{{n}^{2}}$
≤n+1+$\frac{1}{1•2}+\frac{1}{2•3}+…+\frac{1}{（n-1）n}$
=n+1+（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$）=n+2-$\frac{1}{n}$，
∴$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}+\frac{{a}_{2}}{{a}_{3}}+…+\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}≤n+2-\frac{1}{n}$；
（3）由（1）得，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{{n}^{2}}{{n}^{2}+1}$＞$\frac{{n}^{2}-1}{{n}^{2}}$=$\frac{n-1}{n}•\frac{n+1}{n}$，
则a_n+1＞a_n•$\frac{n-1}{n}•\frac{n+1}{n}$，
由a₁=1得，a₂=$\frac{1}{2}$，则n=1、2都成立，
当n≥3时，a₃＞a₂•$\frac{1}{2}•\frac{3}{2}$，a₄＞a₃•$\frac{2}{3}•\frac{4}{3}$＞a₂•$\frac{1}{2}•\frac{3}{2}$•$\frac{2}{3}•\frac{4}{3}$，…
∴a_n＞a₂•$\frac{1}{2}•\frac{3}{2}$•$\frac{2}{3}•\frac{4}{3}$…$\frac{n-2}{n-1}•$$\frac{n}{n-1}$=$\frac{n}{4（n-1）}$$＞\frac{1}{4}$，
综上可得，a_n$＞\frac{1}{4}$对一切n∈N⁺都成立．

点评 本题考查数列递推式的化简和应用，以及裂项相消法求和，利用放缩法、归纳推理证明不等式等，考查化简、变形能力，分析问题、解决问题的能力．