Question

13．设两个函数f（x）和g（x），其中f（x）是三次函数，且对任意的实数x，都有f′（x）+2f′（-x）=-9x²-4x-3，f（0）=1，g（x）=$\frac{m}{x}$+xlnx（m≥1）．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）证明：对于任意的x₁，x₂∈（0，+∞）都有f（x₁）≤g（x₂）成立．

Answer 1

分析 （1）使用待定系数法求解f（x）的解析式，再利用导数判断f（x）的单调性，得出极值点，计算极值；
（2）当m=1时，g（x）=$\frac{1}{x}$+xlnx，求出g（x）的最小值，与f（x）的最大值进行比较即可得出结论．

解答 解：（1）设f（x）=ax³+bx²+cx+d，则f′（x）=3ax²+2bx+c，f′（-x）=3ax²-2bx+c，
∴f′（x）+2f′（-x）=9ax²-2bx+3c=9x²-4x-3，
∴a=-1，b=2，c=-1，又f（0）=1，∴d=1．
∴f（x）=-x³+2x²-x+1，f′（x）=-3x²+4x-1，
令f′（x）=0得x=$\frac{1}{3}$或x=1．
∴当x$＜\frac{1}{3}$或x＞1时，f′（x）＜0，当$\frac{1}{3}＜x＜1$时，f′（x）＞0．
∴函数f（x）在（-∞，$\frac{1}{3}$）上单调递减，在（$\frac{1}{3}$，1）上单调递增，在（$\frac{1}{3}$，+∞）上单调递减，
故当x=$\frac{1}{3}$时，f（x）取得极小值f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{23}{27}$，
当x=1时，f（x）取得极大值f（1）=1．
证明：（2）要证明对于任意的x₁，x₂∈（0，+∞）都有f（x₁）≤g（x₂）成立即可．
只需证当x₁，x₂∈（0，+∞）时，g（x₂）_min≥f（x₁）_max即可．
当m=1时，$g（x）=\frac{1}{x}+xlnx$，则$g′（x）=-\frac{1}{x^2}+lnx+1=lnx+\frac{{{x^2}-1}}{x^2}$．
当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，
∴函数g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∴g_min（x）=1，
由（1）知对任意x₁∈（0，+∞），f（x₁）_max=1，
又m≥1，$g（x）=\frac{m}{x}+xlnx≥\frac{1}{x}+xlnx≥1$，
∴当x₁，x₂∈（0，+∞）时，g（x₂）_min≥f（x₁）_max成立
故对于任意的x₁，x₂∈（0，+∞）都有f（x₁）≤g（x₂）成立．

点评 本题考查了解析式的解法，导数与函数单调性，极值，最值的关系，属于中档题．