Question

已知M＞0，且对于任意a，b，c∈（M，+∞），若a，b，c是直角三角形的三条边长，且lna，lnb，lnc也能成为三角形的三条边长，那么M的最小值为

 

．

Answer 1

考点：三角形中的几何计算

专题：解三角形

分析：不妨设c为直角三角形的斜边，由题意可得a²+b²=c²，lna+lnb＞lnc．由lna+lnb＞lnc，可得c＜ab，利用基本不等式的性质可得2ab≤a²+b²=c²＜a²b²，当且仅当a=b时取等号，即可得出．

解答： 解：不妨设c为直角三角形的斜边，
则a²+b²=c²，lna+lnb＞lnc，
由lna+lnb＞lnc，
可得c＜ab，
∴2ab≤a²+b²=c²＜a²b²，当且仅当a=b时取等号．
∴ab＞2，
∴a＞

2

或b＞

2

．
因此M的最小值为

2

．
故答案为：

2

．

点评：本题考查了勾股定理、三角形三边大小关系、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．