【题目】设函数y= 的图象上存在两点P,Q,使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形(其中O为坐标原点),且斜边的中点恰好在y轴上,则实数a的取值范围是 .
【答案】(0, ]
【解析】解:假设曲线y=f(x)上存在两点P、Q满足题设要求,
则点P、Q只能在y轴两侧.
不妨设P(t,f(t))(t>0),
则Q(﹣t,t3+t2),
∵△POQ是以O为直角顶点的直角三角形,
∴ =0,
即﹣t2+f(t)(t3+t2)=0(*)
若方程(*)有解,存在满足题设要求的两点P、Q;
若方程(*)无解,不存在满足题设要求的两点P、Q.
若0<t<e,则f(t)=﹣t3+t2代入(*)式得:﹣t2+(﹣t3+t2)(t3+t2)=0
即t4﹣t2+1=0,而此方程无解,因此t≥e,此时f(t)=alnt,
代入(*)式得:﹣t2+(alnt)(t3+t2)=0,
即 =(t+1)lnt(**)
令h(x)=(x+1)lnx(x≥e),
则h′(x)=lnx+1+ >0,
∴h(x)在[e,+∞)上单调递增,
∵t≥e∴h(t)≥h(e)=e+1,
∴h(t)的取值范围是[e+1,+∞).
∴对于0<a≤ ,方程(**)总有解,即方程(*)总有解.
所以答案是:(0, ].
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某种多面体玩具共有12个面,在其十二个面上分别标有数字1,2,3,…,12.若该玩具质地均匀,则抛掷该玩具后,任何一个数字所在的面朝上的概率均相等.
为检验某批玩具是否合格,制定检验标准为:多次抛掷该玩具,并记录朝上的面上标记的数字,若各数字出现的频率的极差不超过0.05.则认为该玩具合格.
(1)对某批玩具中随机抽取20件进行检验,将每个玩具各面数字出现频率的极差绘制成茎叶图(如图所示),试估计这批玩具的合格率;
(2)现有该种类玩具一个,将其抛掷100次,并记录朝上的一面标记的数字,得到如下数据:
朝上面的数字 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
次数 | 9 | 7 | 8 | 6 | 10 | 9 | 9 | 8 | 10 | 9 | 7 | 8 |
1)试判定该玩具是否合格;
2)将该玩具抛掷一次,记事件:向上的面标记数字是完全平方数(能写成整数的平方形式的数,如,9为完全平方数);事件:向上的面标记的数字不超过4.试根据上表中的数据,完成以下列联表(其中表示的对立事件),并回答在犯错误的概率不超过0.01的前提下,能否认为事件与事件有关.
合计 | |||
合计 | 100 |
(参考公式及数据: , )
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】定义实数a,b间的计算法则如下a△b= .
(1)计算2△(3△1);
(2)对0<x<z<y的任意实数x,y,z,判断x△(y△z)与(x△y)△z的大小,并说明理由;
(3)写出函数y=(1△x)+(2△x),x∈R的解析式,作出该函数的图象,并写出该函数单调递增区间和值域(只需要写出结果).
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆 的离心率 ,分别是椭圆的左、右顶点,点P是椭圆上的一点,直线PA、PB的倾斜角分别为α、β满足tanα+tanβ=1,则直线PA的斜率为
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】为迎接“双十一”活动,某网店需要根据实际情况确定经营策略.
(1)采购员计划分两次购买一种原料,第一次购买时价格为a元/个,第二次购买时价格为b元/个(其中a≠b).该采购员有两种方案:方案甲:每次购买m个;方案乙:每次购买n元.请确定按照哪种方案购买原料平均价格较小.
(2)“双十一”活动后,网店计划对原价为100元的商品两次提价,现有两种方案:方案丙:第一次提价p,第二次提价q;方案丁:第一次提价 ,第二次提价 ,(其中p≠q)请确定哪种方案提价后价格较高.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某校从高一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分为6组:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100)加以统计,得到如图所示的频率分布直方图,已知高一年级共有学生600名,据此估计,该模块测试成绩不少于60分的学生人数为( )
A.588
B.480
C.450
D.120
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com