Question

14．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1的右焦点为F，右顶点为A，离心率为e，点P（m，0）（m＞4）满足条件|FA|=|AP|•e．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）设过点F的直线l与椭圆C相交于M，N两点，求证：∠MPF=∠NPF．

Answer 1

分析 （Ⅰ）椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1，可得a，b，c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$．e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，|FA|=2，|AP|=m-4．代入|FA|=|AP|•e，即可得出．
（Ⅱ）要证：∠MPF=∠NPF．等价于证直线MP，NP的倾斜角互补，等价于证：k_PM+k_PN=0．若直线l的斜率不存在，由椭圆对称性知，MP，NP关于x轴对称，符合题意．若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为：y=k（x-2），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂．直线方程与椭圆方程联立得（4k²+3）x²-16k²x+16k²-48=0．利用斜率计算公式、根与系数的关系可得：k_PM+k_PN=0．

解答 （Ⅰ）解：∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1，∴a=4，b=2$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=2．
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，|FA|=2，|AP|=m-4．
∵|FA|=|AP|•e，∴2=$\frac{1}{2}$（m-4）．
∴m=8．
（Ⅱ）证明：要证：∠MPF=∠NPF．
等价于证直线MP，NP的倾斜角互补，
等价于证：k_PM+k_PN=0．
由（Ⅰ）知，P（8，0），F（2，0）．
若直线l的斜率不存在，由椭圆对称性知，MP，NP关于x轴对称，符合题意．
若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为：y=k（x-2），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂．
联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1}\\{y=k（x-2）}\end{array}\right.$，得（4k²+3）x²-16k²x+16k²-48=0．
可知△＞0恒成立，且x₁+x₂=$\frac{16{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，x₁•x₂=$\frac{16{k}^{2}-48}{4{k}^{2}+3}$．
∵k_PM+k_PN=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-8}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-8}$=$\frac{k（{x}_{1}-2）}{{x}_{1}-8}$+$\frac{k（{x}_{2}-2）}{{x}_{2}-8}$=$\frac{k（{x}_{1}-2）（{x}_{2}-8）+k（{x}_{2}-2）（{x}_{1}-8）}{（{x}_{1}-8）（{x}_{2}-8）}$=$\frac{2k{x}_{1}{x}_{2}-10k（{x}_{1}+{x}_{2}）+32k}{（{x}_{1}-8）（{x}_{2}-8）}$．
分子=2k×$\frac{16{k}^{2}-48}{4{k}^{2}+3}$-10k$\frac{16{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$+32k=$\frac{32{k}^{3}-96k-160{k}^{3}+128{k}^{3}+96k}{4{k}^{2}+3}$=0，
∴∠MPF=∠NPF．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．