Question

3．2014年“双节”期间，高速公路车辆较多．某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/h）分成六段：[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90）后得到如图的频率分布直方图．
（1）求这40辆小型车辆车速的众数、平均数和中位数的估计值；
（2）若从车速在[60，70）的车辆中任抽取2辆，求车速在[65，70）的车辆恰有一辆的概率．

Answer 1

分析 （1）众数的估计值为最高的矩形的中点，由此能求出众数的估计值；设图中虚线所对应的车速为x，由频率分布直方图能求出中位数的估计值和平均数的估计值．
（2）从频率分布直方图求出车速在[60，65）的车辆数、车速在[65，70）的车辆数，设车速在[60，65）的车辆设为a，b，车速在[65，70）的车辆设为c，d，e，f，利用列举法能求出车速在[65，70）的车辆恰有一辆的概率．

解答 解：（1）众数的估计值为最高的矩形的中点，
即众数的估计值等于77.5，
设图中虚线所对应的车速为x，
则中位数的估计值为：0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×（x-75）=0.5，
解得x=77.5，
即中位数的估计值为77.5，
平均数的估计值为：5×（62.5×0.01+67.5×0.02+72.5×0.04+77.5×0.06+82.5×0.05+87.5×0.02）=77．
（2）从图中可知，车速在[60，65）的车辆数为：m₁=0.01×5×40=2（辆），
车速在[65，70）的车辆数为：m₂=0.02×5×40=4（辆）
设车速在[60，65）的车辆设为a，b，
车速在[65，70）的车辆设为c，d，e，f，
则所有基本事件有：
（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），
（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f），共15种
其中车速在[65，70）的车辆恰有一辆的事件有：
（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f）共8种
∴车速在[65，70）的车辆恰有一辆的概率为${P}=\frac{8}{15}$．

点评 本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．