Question

已知函数f（x）=|x-a|-2a+1（a∈R）．
（Ⅰ）若a=1，解不等式f（x）＜|x+1|；
（Ⅱ）若对任意x∈[1，2]，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法,函数恒成立问题

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）由a=1，利用绝对值的意义求得不等式f（x）＜|x+1|的解集．
（Ⅱ）由题意可得f（x）在[1，2]上的最小值大于或等于零，分类讨论求得f（x）在[1，2]上的最小值，从而求得a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）当a=1，不等式f（x）＜|x+1|即|x-1|-2+1＜|x+1|，即|x-1|-|x+1|＜1．
而|x-1|-|x+1|表示数轴上的x对应点到1对应点的距离减去它到-1对应点的距离，
而-

1

2

对应点到1对应点的距离减去它到-1对应点的距离正好等于1，故|x-1|-|x+1|＜1的解集为{x|x＞-

1

2

}，
即原不等式的解集为{x|x＞-

1

2

}．
（Ⅱ）若对任意x∈[1，2]，①当a≤1时，函数f（x）=x-a-2a+1=x-3a+1，f（x）在[1，2]上单调递增，
f（x）的最小值为f（1）=2-3a，由2-3a≥0求得a≤

2

3

，
综合可得a≤

2

3

．
②当1＜a＜2时，f（x）=

1-a-x，1≤x≤a x-3a+1，x＞a

，故f（x）在[1，a]上单调递减，在（a，1]上单调递增，
故f（x）的最小值为f（a）=1-2a，由1-2a≥0，求得a≤

1

2

，不满足前提条件1＜a＜2，故舍去．
③当a≥2时，函数f（x）=-x+a-2a+1=-a+1-x，f（x）在[1，2]上单调递减，
f（x）的最小值为f（2）=-1-a，由-1-a≥0求得a≤-1，不满足前提条件a≥2，故舍去．
综上可得，a≤

2

3

．

点评：本题主要考查绝对值的意义，函数的恒成立问题，利用单调性求函数在闭区间上的最值，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．